Lektion TRI08: Trigonometrische Gleichungen

Was sind Trigonometrische Gleichungen und worin unterscheiden sie sich von anderen Gleichungen?

Wie gibt man die Lösungsmengen an?

Was ist das Intervall und wie beeinflusst es die Lösungsmenge?

Was ist der Periodizitätssummand?

Wie rechnet man Lösungen ins Bogenmaß um?

Wie leitet man die allgemeine Lösungsformel für Nullstellen her?

Wie kommt man mit Identitäten auf weitere Lösungen?

In dieser Lektion schauen wir uns an, wie wir trigonometrische Gleichungen am besten lösen können. Wir hatten bereits zuvor bei den trigonometrischen Funktionen gesehen, wie wir die allgemeinen Funktionsgleichungen verändern können und damit den Verlauf der Graphen. Nun werden wir unter anderem die Nullstellen dieser Graphen berechnen.

 

Einführung zu Gleichungen und Lösungsmöglichkeiten (1 Lösung, mehrere Lösungen, keine Lösung). Was ist das Intervall und wie beeinflusst es die Lösungsmenge bei den Trigonometrischen Gleichungen. Wie ist die Lösung im Bogenmaß anzugeben.

 

Die Gleichung sin(x)=0,5 hat 2 Lösungen im Intervall [0°, 360°]. Darstellung der 2. Lösung am Einheitskreis mittels Identität sin(x) = sin(180°-x). Wir lernen den Periodizitätssummand kennen. Lösung am Sinusgraphen, Umrechnung der Lösung ins Bogenmaß.

 

Wir lösen die Gleichung cos(x)=-0,5. Darstellung am Einheitskreis. 2. Lösung mit Hilfe der Identität cos(x) = cos(-x). Periodizitätssummand bei Kosinus. Lösung der Aufgabe: sin(2·x)=0,5. Wie verändert der Faktor vor x die Lösung + Periode. Darstellung am Funktionsgraphen.

 

Wir untersuchen sin(x), sin(2x), sin(x+10°), sin(x-90°) und sin(2·x-90°). Auswirkungen auf die Nullstelle des Sinusgraphen. Herleitung der allgemeinen Lösungsformel x = -c/b + k·180/b für alle Nullstellen von sin(b·x)+c = 0.

 

Nullstellen bei a·sin(b·x+c)+d=0. Lösung der Gleichung sin(2x+30°)-0,5=0. Berechnung der Periode und Ermittlung der 2. Nullstelle mittels Sinusidentität unter Berücksichtigung der veränderten Sinusgleichung.

 

Wir lösen die Kosinusgleichung cos(2x-90°)+0,5=0. Ermittlung der zweiten Lösung über Kosinusidentität.

 

Wir lösen die Tangensgleichung: 0,3·tan(1,5x-90°)+0,3=0. Periode bei Tangens mit 180°/b.

Dieses Programm berechnet uns die Nullstellen der allgemeinen Sinusfunktion a·sin(b·x+c)+d und zeigt sie im Koordinatensystem an. Verändert ihr die Werte, verändert sich der Graph.

 

Dieses Programm berechnet uns die Nullstellen der allgemeinen Kosinusfunktion a·cos(b·x+c)+d und zeigt sie im Koordinatensystem an.

 

Dieses Programm berechnet uns die Nullstellen der allgemeinen Tangensfunktion a·tan(b·x+c)+d und zeigt sie im Koordinatensystem an.