Wahrscheinlichkeitsrechnung: Kombinatorische Aufgaben mit Lösungen

Aufgabe:
Beim gleichzeitigen Werfen von zwei Würfeln soll die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden, dass die Augensumme genau 7 beträgt.
Schritt-für-Schritt-Lösung:
1. Mögliche Paare bestimmen: Die Paare \(1,6\), \(2,5\), \(3,4\), \(4,3\), \(5,2\), \(6,1\) ergeben die Summe 7.
2. Anzahl der günstigen Ergebnisse: Es gibt 6 günstige Kombinationen.
3. Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse: Jeder Würfel hat 6 Seiten → 6 × 6 = 36 mögliche Kombinationen.
4. Wahrscheinlichkeit berechnen: 6 günstige Fälle / 36 mögliche Fälle = \( \frac{1}{6} \).
Antwort:
Die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit zwei Würfeln eine Augensumme von 7 zu erhalten, beträgt 1/6.
⚙ augensumme

Aufgabe:
Beim klassischen Lotto zieht man 6 Kugeln aus 49. Die Frage lautet: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, alle 6 Richtigen zu treffen?
Schritt-für-Schritt-Lösung:
1. Kombinationen berechnen: Die Ziehung von 6 Zahlen aus 49 erfolgt ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen.
2. Formel für Kombinationen: \(C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\)
3. Einsetzen der Zahlen: \( C(49, 6) = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13983816 \)
4. Wahrscheinlichkeit berechnen: Es gibt genau 1 richtige Kombination von 13.983.816 Möglichkeiten.
5. Ergebnis: Wahrscheinlichkeit = \(\frac{1}{13\,983\,816}\) ≈ 0,0000000715
Antwort:
Die Wahrscheinlichkeit für einen „Sechser“ im Lotto beträgt 1 zu 13.983.816.
⚙ lotto

Aufgabe:
Aus einem Pokerblatt von 52 Karten werden zufällig 2 Karten gezogen. Wie wahrscheinlich ist es, dass beide gezogenen Karten Asse sind?
Schritt-für-Schritt-Lösung:
1. Anzahl der Asse im Spiel: Es gibt 4 Asse in einem Kartenspiel.
2. Kombinationen für 2 Asse: \(C(4, 2) = 6\) Möglichkeiten, 2 Asse auszuwählen.
3. Kombinationen für 2 beliebige Karten: \(C(52, 2) = 1326\) Möglichkeiten, 2 Karten aus 52 zu wählen.
4. Wahrscheinlichkeit berechnen: \(\frac{6}{1326} = \frac{1}{221} \)
5. Ergebnis als Dezimalzahl: ≈ 0,0045
Antwort:
Die Wahrscheinlichkeit, beim zufälligen Ziehen von 2 Karten aus einem Pokerblatt zweimal ein Ass zu ziehen, beträgt etwa 1 zu 221.
⚙ karten

Frage:
In einer Urne befinden sich 3 rote und 5 blaue Kugeln. Es werden nacheinander 2 Kugeln gezogen, mit Zurücklegen. Wie wahrscheinlich ist es, zweimal eine rote Kugel zu ziehen?
Schritt-für-Schritt-Lösung:
1. Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel pro Ziehung: \(\frac{3}{8}\)
2. Da mit Zurücklegen gezogen wird, bleibt die Wahrscheinlichkeit gleich.
3. Für zweimal rot: \(P = \frac{3}{8} \times \frac{3}{8} = \frac{9}{64}\)
4. Dezimalwert: ≈ 0,1406
Antwort:
Die Wahrscheinlichkeit, zweimal nacheinander eine rote Kugel mit Zurücklegen zu ziehen, beträgt \( \frac{9}{64} \) bzw. ca. 14,1%.
⚙ kugeln

Frage:
Angenommen, 5 Schüler sollen auf 5 Stühle gesetzt werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür, wenn die Reihenfolge beachtet wird?
Schritt-für-Schritt-Lösung:
1. Permutationen zählt bei Reihenfolge alle Anordnungen: \( n! \)
2. Einsetzen für 5 Schüler: \(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)
3. Das bedeutet: Es gibt 120 verschiedene Arten, wie die 5 Schüler platziert werden können.
Hinweis: Falls nicht alle Plätze belegt werden (z. B. 3 von 5), würde man \( P(5,~3) = 5 \times 4 \times 3 = 60\) Möglichkeiten berechnen.
Antwort:
Bei voller Besetzung entstehen 120 verschiedene Sitzordnungen.
⚙ permutation